Question

已知拋物線y＝－x²＋2mxm²m＋2．

　　（1）判斷拋物線的頂點與直線L：y＝-x＋2的位置關系；

　　（2）設該拋物線與x軸交于M、N兩點，當OM?ON＝4，且OM≠ON時，求出這條拋物線的解析式；

（3）直線L交x軸于點A，（2）中所求拋物線的對稱軸與x軸交于點B．那么在對稱軸上是否存在點P，使⊙P與直線L和x軸同時相切．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由拋物線，得頂點坐標為

（m，-m＋2），　　顯然滿足y＝-x＋2

∴　拋物線的頂點在直線L上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）設M（，0），N（，0），且．　由OM?ON＝4，，OM≠ON，得．

 ∵　，  ∴　．

當時， ，

當時，＜0，此方程無解　　　　

　∵　△₁＝(2m)－4(m＋m－2)＝－4m＋8＝－4m＋8>0．　∴　m＜2．

故取m＝-3．　

則拋物線的解析式為．　　

�。�3）拋物線的對稱軸為x＝-3，頂點（-3，5）．

　依題意，∠CAB＝∠ACB＝45°．

若點P在x軸的上方，設（-3，a）（a＞0），則點到直線L的距離為a（如圖），　∴　△是等腰直角三角形．

　∴　，．　∴　，5．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　若點P在x軸的下方，設（-3，-b）（b＞0），　則點到直線L的距離為b（如圖），同理可得△為等腰直角三角形，

∴　，．　∴　，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　∴　滿足條件的點有兩個，即（-3，）和（-3，）．