Question

如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N．
（1）求線段OD的長；
（2）若弦MN=4，求tan∠C的值以及四邊形ABDC的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB與CD平行，得到兩對同位角相等，再由半徑OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得出∠C=∠D，根據(jù)等角對等邊可得出OC=OD，由OA及AC的長，得出OC的長，即為OD的長；
（2）過O作OH垂直于CD，由AB與CD平行可得出OE垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到H為MN的中點，根據(jù)MN的長求出MH的長，再由半徑OM的長，利用勾股定理求出OH的長，在直角三角形OCH中，由OH及OC的長，利用勾股定理求出CH的長，利用銳角三角函數(shù)定義可得出tanC的值，由tanC的值得出tan∠AOB的值為1：2，設(shè)OE=x，則有AE=2x，由OA的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OE及AE的長，由OE垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到E為AB的中點，根據(jù)AB=2AE得到AB的長，同理CD=2CH，得出CD的長，利用三角形的面積公式分別求出三角形AOB的面積及三角形OCD的面積，可由三角形OCD的面積-三角形OAB的面積得出四邊形ABDC的面積．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠C=∠OAB，∠D=∠OBA，
又∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∴∠C=∠D，又OA=3，AC=2
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5；

（2）作OH⊥CD于點H，交AB于點E，連接OM，

∵OH⊥MN，MN=4，
∴MH=NH=

1

2

MN=2，又OM=OA=3，
在Rt△OMH中，根據(jù)勾股定理得：OH=

OM2-MH2

=

32-22

=

5

，
在Rt△OCH中，OC=5，OH=

5

，
根據(jù)勾股定理得：CH=

OC2-OH2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
∴tanC=

OH

CH

=

5

2 5

=

1

2

，
∵AB∥CD，OH⊥CD，
∴∠C=∠OAB，OE⊥AB，
∴tan∠OAB=

OE

AE

=

1

2

，
設(shè)OE=x，則AE=2x，又OA=3，
在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得：OA²=AE²+OE²，即3²=x²+（2x）²，
解得：x=

3 5

5

，
∴AE=2x=

6 5

5

，OE=x=

3 5

5

，
∴AB=2AE=

12 5

5

，CD=2CH=4

5

，
∴S_{四邊形ABDC}=S_△OCD-S_△OAB=

1

2

CD•OH-

1

2

AB•OE=

1

2

×4

5

×

5

-

1

2

×

12 5

5

×

3 5

5

=

32

5

．

點評：此題考查了平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，垂徑定理，勾股定理，以及三角形的面積公式，利用方程及轉(zhuǎn)化的思想，遇到圓中的弦，常常過圓心作弦的垂線，由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．