Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問(wèn)中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（4）在第（3）問(wèn)的條件下，二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點(diǎn)E，使四邊形OECD的面積S₁與四邊形OABD的面積S滿足：S₁=

2

3

S？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)發(fā)解答；
（2）因?yàn)锽點(diǎn)為三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，將B（6，m）代入已知函數(shù)y=

9

x

，即可求得m的值；根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行，可知二者比例系數(shù)相同，再用待定系數(shù)法求出b的值；
（3）A、B坐標(biāo)已求出，D點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得；
（4）畫(huà)出圖形，根據(jù)已知各點(diǎn)坐標(biāo)，求出相應(yīng)線段長(zhǎng)．由于四邊形不規(guī)則，故將其面積轉(zhuǎn)化為矩形面積與三角形面積的差或幾個(gè)三角形面積的和．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=k₁x（k₁≠0），
因?yàn)閥=k₁x的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=x．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k2

x

（k₂≠0），
因?yàn)閥=

k2

x

的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3），
所以3=

k2

3

，
解得k₂=9．
這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

．（2分）

（2）因?yàn)辄c(diǎn)B（6，m）在y=

9

x

的圖象上，
所以m=

9

6

=

3

2

，
則點(diǎn)B（6，

3

2

）．（3分）
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k₃x+b（k₃≠0），
因?yàn)閥=k₃x+b的圖象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因?yàn)閥=x+b的圖象過(guò)點(diǎn)B（6，

3

2

），
所以

3

2

=6+b，
解得b=-

9

2

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-

9

2

．

（3）因?yàn)閥=x-

9

2

的圖象交y軸于點(diǎn)D，
所以D的坐標(biāo)為（0，-

9

2

）．
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
因?yàn)閥=ax²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3）、B（6，

3

2

）、和D（0，-

9

2

），
所以

9a+3b+c=3 36a+6b+c= 3 2 c=- 9 2

，
解得

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+4x-

9

2

．（6分）

（4）∵y=x-

9

2

交x軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

9

2

，0），
如圖所示，連接OE，CE，過(guò)點(diǎn)A作AF∥x軸，交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BH∥y軸，交AF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DG∥x軸，交直線BH于點(diǎn)G，則S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假設(shè)存在點(diǎn)E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四邊形CDOE的頂點(diǎn)E只能在x軸上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

1

2

×

9

2

•y0=

81

8

+

9

4

y0．
∴

81

8

+

9

4

y0=

27

2

，
∴y0=

3

2

．（7分）
∵E（x₀，y₀）在二次函數(shù)的圖象上，
∴-

1

2

x

2 0

+4x0-

9

2

=

3

2

．
解得x₀=2或x₀=6．
當(dāng)x₀=6時(shí)，點(diǎn)E（6，

3

2

）與點(diǎn)B重合，這時(shí)CDOE不是四邊形，故x₀=6舍去，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

3

2

）．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來(lái)，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．