Question

（2013•翔安區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，DF 平分∠ADC交線段AE于點F．
（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請?zhí)剿骶�段CD與AF+BE之間所滿足的數量關系；
（2）如圖2，若AE=AD，則你在（1）中得到的結論是否仍然成立？若成立，對你的結論加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BE=

1

2

AB，證△ADF≌△EAB，推出AF=BE，即可得出答案．
（2）延長FA至G，使AG=BE，證△GAD≌△BEA，推出DG=AB，求出GD=GF，即可推出答案．

解答：解：（1）CD=AF+BE，
理由是：如圖，∵∠ADC=60°，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=30°，
∵平行四邊形ABCD，
∴∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，AB=CD，
∵AE⊥BC，
∴∠DAF=∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°=∠ADF，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

CD，
在△ADF和△EAB中，

∠ADF=∠BAE AD=AE ∠DAF=∠AEB

∴△ADF≌△EAB（ASA），
∴AF=BE=

1

2

CD，
∴CD=AF+BE．

（2）結論仍然成立．
證明：如圖，延長FA至G，使AG=BE，
在△DAG和△AEB中，

AD=AE ∠GAD=∠AEB AG=BE

，
∴△DAG≌△AEB（SAS），
∴∠GDA=∠BAE，GD=AB=CD，
又∵平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ADC=90°，
∴∠GDF=90°-∠CDF，
在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF，
∴∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD，
∴GD=AF+AG，
∴CD=AF+BE．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．