Question

如圖，AB是⊙O的直徑．
（1）用尺規(guī)作圖的方法作出垂直平分半徑OA的弦CD；
（2）連接BC、BD，試判斷△BCD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖，線段CD就是所求作的弦；

（2）△BCD是等邊三角形，證明如下：
連接AC、OC
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑
∴
∴BC=BD
∵CD垂直平分半徑OA
∴AC=OC
∵OA=OC
∴AC=OA=OC
∴∠A=60°，
又∵∠A和∠CDB同對弧BC
∴∠CDB=∠A=60°
∴△BCD是等邊三角形．
分析：（1）分別以點A、O為圓心，以大于OA的長的一半為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點并交于圓于點C、D；
（2）由垂徑定理可得到BC=BD和△ACD是等邊三角形，再由圓周角得到∠D=∠A=60°，即可得到△BCD是等邊三角形．
點評：本題考查了中垂線的作法和垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定．