Question

求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式．
（1）拋物線與x軸交點的橫坐標為-5和1，與y軸交于點（0，5）；
（2）拋物線與x軸只有一個公共點（2，0），并與x軸交于（0，2）點；
（3）當x=2時，y取得最小值-4．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+5）（x-1），
把（0，5）代入得-5a=5，解得a=-1，
所以拋物線的解析式為y=-（x+5）（x-1）=-x²-4x+5；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²，
把（0，2）代入得4a=2，解得a=，
所以拋物線的解析式為y=（x-2）²；

（3）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-4，
因為而次函數(shù)有最小值，
所以a可以取1，
則此時拋物線的解析式為y=（x-2）²-4．
分析：（1）由于已知拋物線與x的兩交點坐標，則可交點式y(tǒng)=a（x+5）（x-1），然后把（0，5）代入求出a即可；
（2）由于拋物線與x軸只有一個公共點（2，0），即頂點坐標為（2，0），于是可設頂點式y(tǒng)=a（x-2）²，然后把（0，2）代入求出a即可；
（3）由于x=2時，y取得最小值-4，則a＞0，頂點坐標為（2，0），于是可設頂點式y(tǒng)=a（x-2）²，然后令a=1即可得到滿足條件的一個拋物線．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．