Question

已知關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0，
（1）求證：無論k取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根；
（2）如果等腰三角形的腰和底分別是這個方程的兩根：①求這個三角形的周長（用含k的代數(shù)式表示）；②求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出△，變形為△=（2k-3）²，得到△≥0，根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式先求出方程的兩根x₁=2，x₂=2k-1，然后分類推論：當(dāng)以2為腰或當(dāng)以2為底，分別求出三角形的周長，再利用三角形的三邊關(guān)系分別得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵△=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）
=4k²+4k+1-16k+8
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵（2k-3）²，≥0，
∴△≥0，
∴無論k取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根；

（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

∴x₁=2，x₂=2k-1，
①當(dāng)以2為腰，2k-1為底，則三角形的周長為2k+3；
當(dāng)以2為底，2k-1為腰時，三角形的周長為4k．
②當(dāng)以2為腰，2k-1為底時，

1

2

＜k＜

5

2

；
當(dāng)以2為底，2k-1為腰時，k＞1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了代數(shù)式的變形、一元二次方程的解法和分類討論的思想的運用以及三角形三邊的關(guān)系．