Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（-2，3），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連結OA，拋物線y=-x²-2x+c經過點A，與x軸正半軸交于點C

（1）求c的值；
（2）將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．
（3）將△OAB沿直線OA翻折，記點B的對應點B′，向左平移拋物線，使B′恰好落在平移后拋物線的對稱軸上，求平移后的拋物線解析式．
（4）連接BC，設點E在x軸上，點F在拋物線上，如果B、C、E、F構成平行四邊形，請寫出點E的坐標（不必書寫計算過程）．

Answer 1

（1）把A（-2，3）代入y=-x²-2x+c，解得c=3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點D的坐標為（-1，4）
∵拋物線的對稱軸與AB、AO的交點坐標分別為（-1，3）、（-1，1.5），
∴最小移動距離m=4-3=1，最大移動距離m=4-1.5=2.5，
∵頂點不在三角形的邊上，在三角形的內部，
∴m的取值范圍為1＜m＜2.5；

（3）延長BA交對稱軸于M，
∵∠B′=90°，∴△AMB′∽△B′NO，

AM

B′N

=

MB′

ON

=

AB′

OB′

=

2

3

，
設AM=a，可得B′N=

3

2

a，由勾股定理得：AM²+MB²=AB′²，
∴a²+（3-

3

2

a）²=2²，
解得：a₁=2，a₂=

10

13

，
∴MB=2+

10

13

=

36

13

，故向左平移

23

13

個單位，y=-（x+

36

13

）²+4；

（4）①BC為平行四邊形的一邊時；E₁（-1，0），E₃（-2-

7

，0），
②BC為平行四邊形的對角線時E₂（3，0），E₄（-2+

7

，0），
綜上所述：如果B、C、E、F構成平行四邊形，則E點的坐標分別是：E₁（-1，0），E₂（3，0），E₃（-2-

7

，0），E₄（-2+

7

，0）．