Question

【題目】如圖，正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連結(jié)GF，給出下列結(jié)論：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4
其中正確有 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正確．
∵由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜ AB，
∴ ＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED= ＞2，故②錯(cuò)誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S△AGD＞S△OGD ， 故③錯(cuò)誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，故④正確．
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF= OG，
∴BE= EF= × OG=2OG．故⑤正確．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF時(shí)等腰直角三角形．
∵S△OGF=1，
∴ OG2=1，解得OG= ，
∴BE=2OG=2 ，GF= ═2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2 +2，
∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥錯(cuò)誤．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是：①④⑤共三個(gè)．
所以答案是①④⑤．
【考點(diǎn)精析】利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．