Question

如圖，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在y軸正半軸上，線段AB長為6，將線段AB繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°，B點恰好落在x軸上點D處，點C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形．

（1）求點C、點D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，若半徑為1的⊙P從點A出發(fā)，沿A—B—D—C以每秒4個單位長的速度勻速移動，同時⊙P的半徑以每秒1個單位長的速度勻速增加，當(dāng)運(yùn)動到點C時運(yùn)動停止，運(yùn)動時間為t秒，試問在整個運(yùn)動過程中⊙P與y軸有公共點的時間共有幾秒？
（3）在（2）的條件下，當(dāng)⊙P在BD上運(yùn)動時，過點C向⊙P作一條切線，t為何值時，切線長有最小值，最小值為多少？

Answer 1

（1）C(6，3)，D(3，0)；（2）或4或；（3），

試題分析：（1）先解Rt△ABO即可求得AO、BO的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求的結(jié)果；
（2）分0≤t≤1.5、1.5≤t≤3、3≤t≤4.5三種情況，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解即可；
（3）先根據(jù)題意表示出PH=|9?4t|，PQ=t+1，再根據(jù)勾股定理即可表示出QC關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（1）∵AB=6，∠BAO=60°
∴AO=3，BO=3，
∵點C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形
∴C(6，3)，D(3，0) ；
（2）①t₁=（0≤t≤1.5），
t₂=4（1.5≤t≤3）舍去
t₃=4（3≤t≤4.5）  
t=t₃-t₁=4?=
（3）由題意可PH=|9?4t|，PQ=t+1 
QC² =PQ²+PC² =(9-4t) ²+27- (t+1) ²=15t²-74t+107 =15（t?）²+
∵1.5≤t≤3  
∴當(dāng)t=時，QC² =，QC=.

點評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．