Question

已知點(diǎn)O是邊長為2的正方形ABCD的中心，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上移動(dòng)（含端點(diǎn)）．
（1）如圖1，若∠EOF=90°，試證：OE=OF；
（2）如圖2，當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，設(shè)BE=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件時(shí)，試探究直線EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF證明△AOE≌△DOF后即可證得OE=OF．
（2）易證得△BEO∽△DOF，利用線段比求出OB的值．
（3）由（2）的結(jié)論證△BEO∽△OEF，可得EF與⊙O相切．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠EAO=∠FDO=45°，AO=OD，∠AOD=90°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF，即∠AOE=∠DOF．
在△AOE和△DOF中

∠EAO=∠FDO AO=DO ∠AOE=∠DOF

，
∴△AOE≌△DOF．（ASA）
∴OE=OF．

（2）解：在△BEO和△DOF中，
∠EOB+∠BEO=∠EOB+∠DOF=135°，
∴∠BEO=∠DOF．
又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BEO∽△DOF．
∴

BE

DO

=

BO

DF

．
∵BE=x，DF=y，OB=OD=

1

2

22+22

=

2

，
∴

x

2

=

2

y

，
∴y=

2

x

(1≤x≤2)．

（3）解：EF與⊙O相切
證明：∵△BEO∽△DOF，
∴

BE

DO

=

OE

OF

．
又DO=OB，
∴

BE

BO

=

OE

OF

．
∵∠EBO=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴點(diǎn)O到AB的距離等于點(diǎn)O到EF的距離．
∵AB與⊙O相切，
∴點(diǎn)O到EF的距離等于半徑R．
∴EF與⊙O相切．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形，勾股定理以及全等三角形判定等有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度中上．