Question

已知如圖拋物線l₁與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）和（-5，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2.5）．
（1）求拋物線l₁的解析式；
（2）拋物線l₂與拋物線l₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，現(xiàn)有一身高為1.5米的人撐著傘與拋物線l₂的對(duì)稱軸重合，傘面弧AB與拋物線l₂重合，頭頂最高點(diǎn)C與傘的下沿AB在同一條直線上（如圖所示不考慮其他因素），如果雨滴下降的軌跡是沿著直線y=mx+b運(yùn)動(dòng)，那么不被淋到雨的m的取值范圍是多少？
（3）將傘的下沿AB沿著拋物線l₂對(duì)稱軸上升10厘米至A₁B₁，A₁B₁比AB長(zhǎng)8厘米，拋物線l₂除頂點(diǎn)M不動(dòng)外仍經(jīng)過弧A₁B₁（其余條件不變），那么被雨淋到的幾率是擴(kuò)大了還是縮小了，說明理由．

Answer 1

（1）由于拋物線l₁經(jīng)過（-1，0），（-5，0），（0，2.5），
設(shè)其解析式為：y=a（x+1）（x+5），則有：
a（0+1）（0+5）=2.5，即a=0.5；
∴拋物線l₁：y=0.5（x+1）（x+5）=0.5x²+3x+2.5．

（2）∵拋物線l₁：y=0.5（x+3）²-2，且拋物線l₁、l₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴拋物線l₂：y=-0.5（x-3）²+2=-0.5x²+3x-2.5；
當(dāng)y=1.5時(shí)，-0.5x²+3x-2.5=1.5，
整理得：x²-6x+8=0，
解得x=2，x=4；
即A（2，1.5），B（4，1.5），M（3，2）；
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，則N（3，0）；
則直線AN的斜率：k₁=

0-1.5

3-2

=-1.5，
直線BN的斜率：k₂=

0-1.5

3-4

=1.5；
若要不被雨淋到，m的取值范圍為：-1.5＜m＜1.5．

（3）由題意知：tan∠A₁NC=

1.04

1.6

=

13

20

=

39

60

，
tan∠ANC=

1

1.5

=

2

3

=

40

60

；
故∠A₁NC＜∠ANC，∠A₁NB₁＜∠ANB，
所以被雨淋到的幾率增大了．