Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)與軸左側(cè)拋物線交于點(diǎn)，直線與軸右側(cè)拋物線交于點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一動點(diǎn)，求面積的最大值；

(3)點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，請直接寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)當(dāng)時，；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，設(shè)P，則，則得到線段PQ的長度，然后利用三角形面積公式，即可求出答案；

（3）先求出直線BD，然后得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，由以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)M為（m，），則可分為三種情況進(jìn)行①當(dāng)CN與ME為對角線時；②當(dāng)CE與MN為對角線時；③當(dāng)EN與CM為對角線時；由平行四邊形對角線互相平分，即可得到m的值，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：（1）把代入中得，

解得，

拋物線的解析式為：.

（2）由

得，，

.

過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，

設(shè)，則，

，

.

當(dāng)時，；

∴面積的最大值為64.

（3）∵直線與軸交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，），

∵點(diǎn)B為（），

∴直線BD的方程為：；

聯(lián)合拋物線與直線BD，得：

，

解得：或（為點(diǎn)B），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（3，）；

∵拋物線的對稱軸為：，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為；

∵以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且點(diǎn)C（），點(diǎn)E（3，），

設(shè)點(diǎn)M為（m，），則可分為三種情況進(jìn)行

①當(dāng)CN與ME為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：；

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（）；

②當(dāng)CE與MN為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（）；

③當(dāng)EN與CM為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（）；

綜合上述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或.