Question

把一張寬AD=2的矩形紙片ABCD如圖那樣折疊，使每次折疊后，點A都落在CD邊上．如圖，將矩形紙片放在平面直角坐標系中，使AD邊落在y軸上，AD的中點與原點O重合．設某次折疊A的落點為A'，折痕線為EF，EF交x軸于點G．過點A'作x軸的垂線，交x軸于點H，交EF于點T．
（1）請試作兩次你認為最適當?shù)恼郫B，并寫出各次所得到的點T的坐標；
（2）設DA′=x，點T的縱坐標為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求點T（

4

3

，m）到點A的距離TA，并證明T（

4

3

，m）到CD的距離等于TA的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)易得答案，
（2）連接AA'，在Rt△A'GT中，易得Rt△GHT∽Rt△A'HG，進而有GH²=HT×A'H，而A’H=1，GH=

x

2

，且點T在第四象限，故可得所求的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由點T（

4

3

，m）在拋物線y=-

1

4

x2上，得m的值，延長A'T交AB于點M，連接AT．在Rt△AMT中，由勾股定理可得AT的大小；比較可得答案．

解答：解：（1）T（0，0），T（2，-1）或T（1，-

1

4

），T（3，-

9

4

）等．（4分）

（2）連接AA'，由折疊的對稱性知，EF垂直平分AA'于點G，（5分）
在Rt△A'GT中，GH⊥A'T，Rt△GHT∽Rt△A'HG，∴GH²=HT×A'H，（7分）
而A’H=1，GH=

x

2

，
∴HT=

1

4

x2（8分）
∵點T在第四象限，
∴點T的縱坐標為-

1

4

x2，所求的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

x2．（x≥0）（9分）

（3）由點T（

4

3

，m）在拋物線y=-

1

4

x2上，得m=-

4

9

（10分）
延長A'T交AB于點M，連接AT．
在Rt△AMT中，AT=

AM2+TM2

=

( 4 3 )2+(1- 4 9 )2

=

13

9

（11分）
點T（

4

3

，-

4

9

）到CD的距離為TA’，
TA’=A’H+HT=1+|-

4

9

|=

13

9

（12分）
∴點T（

4

3

，m）到CD邊的距離等于TA的長．
（指出EF是AA’的中垂線，得TA=TA’，再求得TA=TA’=

13

9

的給本小題滿分）

點評：本題主要考查，相似三角形的判定及平行線的性質(zhì)，難度較大．