Question

重慶江北國(guó)際機(jī)場(chǎng)是西南地區(qū)三大航空樞紐之一，也是國(guó)家大型樞紐機(jī)場(chǎng)，中國(guó)十大機(jī)場(chǎng)，世界百?gòu)?qiáng)機(jī)場(chǎng)，2012年旅客吞吐量超過(guò)2000萬(wàn)人次．也是重慶航空有限公司、西部航空有限責(zé)任公司、華夏航空三家航空公司的主基地．重慶航空公司有一個(gè)航班每天從重慶飛往北京，從2013年1月31日開(kāi)始，每天該航班乘坐人數(shù)y（人）與天數(shù)x（天）（1≤x≤10，且為整數(shù)）之間有如下表格關(guān)系：

x	1	2	3	4	…
y	210	200	190	180	…

每天航班乘坐人數(shù)y與天數(shù)x（11≤x≤15，且為整數(shù)）有如下圖象關(guān)系：
（1）請(qǐng)根據(jù)表格和圖象直接寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式．
（2）航班的機(jī)票價(jià)格包括了機(jī)場(chǎng)建設(shè)費(fèi)和燃油附加費(fèi)．其中國(guó)內(nèi)航線的機(jī)場(chǎng)建設(shè)費(fèi)是每人50元，出境國(guó)際航班的機(jī)場(chǎng)建設(shè)費(fèi)是每人90元．從重慶飛往北京的這個(gè)航班，由于乘機(jī)人數(shù)的變化．機(jī)票價(jià)格也隨之發(fā)生改變，在春節(jié)前10天（1≤x≤10），每張機(jī)票價(jià)格m（元）與人數(shù)y（人）有如下關(guān)系：m=-5y+1450；春節(jié)后5天（11≤x≤15），每張機(jī)票價(jià)格n（元）與人數(shù)y（人）有如下關(guān)系：n=y+1290．試求出當(dāng)x取第幾天時(shí)，航空公司的總收入最大？（航空公司每張機(jī)票收入=機(jī)票價(jià)格-機(jī)場(chǎng)建設(shè)費(fèi)）
（3）在第二問(wèn)的前提條件下，到第16天，由于迎來(lái)春節(jié)放假返程高峰，在保持每張機(jī)票價(jià)格與最大收益當(dāng)天機(jī)票價(jià)格不變的情況下，乘機(jī)人數(shù)卻增加了2a%．同時(shí)由于熱門電影《泰囧》的熱播，很多旅客選擇春節(jié)后前往泰國(guó)曼谷旅游，重慶航空也在第16日開(kāi)通了飛往曼谷的航班，每張機(jī)票在1500元的基礎(chǔ)上降低了0.5a%，出境旅游人數(shù)卻比第15日前往北京的人數(shù)多3a%．當(dāng)?shù)?6日重慶航空公司總計(jì)收入為920400元時(shí)，試估算a（0＜a＜30）的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)：65²=4225，66²=4356，67²=4489，68²=4624）

Answer 1

分析：（1）解答本題時(shí)根據(jù)分段函數(shù)，當(dāng)1≤x≤10，且為整數(shù)和11≤x≤15，且為整數(shù)直接運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先分別表示出當(dāng)1≤x≤10，且為整數(shù)和11≤x≤15，且為整數(shù)時(shí)機(jī)票價(jià)格與天數(shù)x之間的關(guān)系，設(shè)航空公司的總收入為W元，由每張機(jī)票收入=機(jī)票價(jià)格-機(jī)場(chǎng)建設(shè)費(fèi)就可以表示出w；
（3）先表示出第16天國(guó)內(nèi)乘機(jī)人數(shù)260（1+2a%）人，第16天的票價(jià)為6×15+1460=1550元，前往泰國(guó)的票價(jià)為1500（1-0.5a%）元，乘機(jī)人數(shù)為260（1+3a%）人，根據(jù)第16日重慶航空公司總計(jì)收入為920400元建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）當(dāng)1≤x≤10，且為整數(shù)時(shí)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₁=k₁x+b₁，當(dāng)11≤x≤15，且為整數(shù)時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=k₂x+b₂，由題意，得

210=k1+b1 200=2k1+b1

，

236=11k2+b2 260=15k2+b2

，
解得：

k1=-10 b1=220

，

k2=6 b2=170

．
∴y₁=-10x+220（1≤x≤10，且為整數(shù)），y₂=6x+170（11≤x≤15，且為整數(shù)），
∴y=

-10x+220(1≤x≤10，且為整數(shù)) 6x+170(11≤x≤15，且為整數(shù))

；

（2）設(shè)航空公司的總收入為W元，由題意，得
∵m=-5y+1450，
∴m=-5（-10x+220）+1450=50x+350．（1≤x≤10，且為整數(shù)）
∵n=y+1290，
∴n=6x+170+1290=6x+1460，（11≤x≤15，且為整數(shù)）
當(dāng)1≤x≤10，且為整數(shù)時(shí)，
W₁=（50x+350-50）（-10x+220），
=-500x²+8000x+66000，
=-500（x-8）²+98000，
∵a=-500＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=8，
∴當(dāng)x=8時(shí)，W₁=98000，
當(dāng)11≤x≤15，且為整數(shù)時(shí)，
W₂=（6x+1460-50）（6x+170），
=36x²+9480x+239700，
=36（x²+

790

3

x）+239700，
=36（x+

790

6

）²-384400，
∵a=36＞0，
∴拋物線的開(kāi)口向上，
∴拋物線有最小值，在對(duì)稱軸的右側(cè)，W隨x的增大而增大，對(duì)稱軸為x=-

790

6

．
∵11≤x≤15，
∴x=15時(shí)，W_最大=390000，
∵98000＜390000，
∴當(dāng)x=15時(shí)，最大收入是390000元；

（3）由題意，得
第16天返京乘機(jī)人數(shù)：260（1+2a%）人，
第16天的票價(jià)為：6×15+1460=1550元，
前往泰國(guó)的票價(jià)為：1500（1-0.5a%）元，
前往泰國(guó)乘機(jī)人數(shù)為：260（1+3a%）人，
（1550-50）[260（1+2a%）]+[1500（1-0.5a%）-90]×260（1+3a%）=920400，
設(shè)a%=m，則有
1500×260（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×260（1+3m）=920400，
1500（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×（1+3m）=3540，
整理，得25m²-72m+7=0，
解得m=

72± (-72)2-4×25×7

50

，
m=

72± 4484

50

，
∵67²=4489，
∴m₁=0.1，m₂=2.78，
∴a₁=10，a₂=278．
∵0＜a＜30，且a為整數(shù)，
∴a=10．
∴a的整數(shù)值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道運(yùn)用二次函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件建立一元二次方程是關(guān)鍵，運(yùn)用換元法求解是解答本題的難點(diǎn)．