Question

我區(qū)的某公司，用1800萬(wàn)元購(gòu)得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)、生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)40元．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價(jià)，需定在100元到200元之間為合理．當(dāng)單價(jià)在100元時(shí)，銷售量為20萬(wàn)件，當(dāng)銷售單價(jià)超過100元，但不超過200元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件；設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利為W（萬(wàn)元）．
（年利潤(rùn)=年銷售總額-生產(chǎn)成本-投資成本）
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求第一年的年獲利W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并請(qǐng)說(shuō)明不論銷售單價(jià)定為多少，該公司投資的第一年肯定是虧損的，最小虧損是少？
（3）在使第一年虧損最小的前提下，若該公司希望到第二年的年底，彌補(bǔ)第一年的虧損后，兩年的總盈利為1490萬(wàn)元，且使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

解：（1）y=20-=-0.1x+30；

（2）W=（x-40）（-0.1x+30）-1800
=-0.1x²+34x-3000
=-0.1（x-170）²-110…
∵不論x取何值，-0.1（x-170）²≤0，
∴W=-0.1（x-170）²-110＜0，
即：不論銷售單價(jià)定為多少，該公司投資的第一年肯定是虧損
∵100＜x≤200
∴當(dāng)x=170時(shí)，第一年最少虧損110萬(wàn)元．

（3）依題意得
（x-40）（-0.1x+30）-110=1490
解之得x₁=140 x₂=200
∵k=-0.1＜0，∴y隨x增大而減小，
∴要使銷量最大，售價(jià)要最低，即x=140元；
分析：（1）銷售量是用20萬(wàn)件減去因價(jià)格上漲而導(dǎo)致銷量減小的量，據(jù)此可以列出函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)條件，求出二次函數(shù)解析式，從中找出最值以及相應(yīng)的自變量范圍．
（3）根據(jù)兩年的總盈利為1490萬(wàn)元列出一元二次方程求解即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)及一元二次方程解決實(shí)際問題．