Question

20、已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（1）求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)根；
（2）若兩⊙O₁、⊙O₂相切，O₁O₂=5，且兩圓半徑r₁、r₂恰好是此方程的兩根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需證明△≥0即可．
（2）方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0可以變形為（x-2）（x-k+1）=0，可知兩根為2和k-1．再分內(nèi)切和外切兩種情況討論列方程求解．

解答：解：（1）∵△=b ²-4ac
=[-（k+1）]²-4×（2k-2）
=k ²-6k+9
=（k-3） ²；
∴△=（k-3） ²≥0，
∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x₁=2，x₂=k-1．
當(dāng)兩⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切時(shí)，k-1-2=5，解得k=8；
當(dāng)兩⊙O₁、⊙O₂外切時(shí)，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值為8或4．

點(diǎn)評(píng)：考查解一元二次方程，圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，及一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．