Question

已知⊙O的半徑是6，弦AB的長(zhǎng)為x²-5x-6=0的一個(gè)根，則圓心O到弦AB的距離以及AB所對(duì)的圓心角分別為（ ）
A．和30°
B．和60°
C．3和30°
D．3和60°

Answer 1

【答案】分析：求出方程x²-5x-6=0的解，確定出弦AB的長(zhǎng)，過O作OC⊥AB，連接OA，OB，如圖所示，利用垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，即為圓心O到弦AB的距離；由OA=OB=AB=6，得到三角形AOB為等邊三角形，可得出∠AOB=60°，即為AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)．
解答：解：方程x²-5x-6=0因式分解得：（x-6）（x+1）=0，
解得：x=6或x=-1（舍去），
∴AB=6，
過O作OC⊥AB，連接OA，OB，如圖所示，
可得C為AB的中點(diǎn)，即AC=BC=3，
在Rt△AOC中，OA=6，AC=3，
根據(jù)勾股定理得：OC==3，
∵OA=OB=AB=6，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
則圓心O到弦AB的距離以及AB所對(duì)的圓心角分別為3和60°．
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及一元二次方程-因式分解法，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．