Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與x軸交于點A（-1，0）、點C，與y軸交于點B（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最�。�請求出點P的坐標，并求出△ABP周長的最小值；
（3）在線段AC上是否存在點E，使以C、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似？若存在寫出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A（-1，0）、點B（0，-5）代入解析式求出即可；
（2）利用軸對稱圖形的性質得出P點位置，進而得出直線BC的解析式，進而求出P點坐標；
（3）利用相似三角形的性質利用對應邊不同分別得出E點坐標即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4××0+c

，
解得

a=1 c=-5

，
故二次函數(shù)的表達式為y=x²-4x-5；

（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個交點坐標C（5，0）．
由于P是對稱軸x=2上一點，
連接AB，由于AB=

OA2+BO2

=

26

，
要使△ABP的周長最小，只要PA+PB最小．
由于點A與點C關于對稱軸x=2對稱，連接BC交對稱軸于點P，
則PA+PB=BP+PC=BC，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得PA+PB的最小值為BC．
因而BC與對稱軸x=2的交點P就是所求的點．
設直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意，可得：

b=-5 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
所以直線BC的解析式為y=x-5．
因此直線BC與對稱軸x=2的交點坐標是方程組的解，
解得

x=2 y=-3

，
所求的點P的坐標為（2，-3）．

（3）存在．
∵A（-1，0），C（5，0），
∴AC=6，
∵P（2，-3），C（5，0），
∴PC=3

2

，
∵B（0，-5），C（5，0），
∴BC=5

2

，
當△PEC∽△ABC，
∴

EC

BC

=

PC

AC

，
∴

EC

5 2

=

3 2

6

，
解得：EC=5，
∴E（0，0）；
當△EPC∽△ABC，
∴

EC

AC

=

PC

BC

，
∴

EC

6

=

3 2

5 2

，
解得：EC=3.6，
∴OE=5-3.6=1.4，
故E點坐標為：（1.4，0），
綜上所述：以C、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似，點E的坐標為：（0，0），（1.4，0）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和利用軸對稱求最短路徑等知識，利用數(shù)形結合以及分類討論得出是解題關鍵．