Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x﹣2（a≠）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標；
（3）試探究：△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣ ×4﹣2，即：a= ；

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：可得：B（4，0）、C（0，﹣2），設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得：

故直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設xM=t，則yM= t2﹣ t﹣2，yN= t﹣2，

S△MBC=S△CME+S△BEM= EMON+ EMBN= EMOB

= （ t﹣2﹣ t2+ t+2）×4

=﹣t2+4t

=﹣（t﹣2）2+4，

∴當t=2時，S△MBC=最大值為4，此時M（2，﹣3）

（3）

解：由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OAOB，

又∵OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（1.5，0）．

【解析】（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可．（2）利用過點M作y軸的平行線，再利用S△MBC=S△CME+S△BEM得出二次函數(shù)最值得出答案；（3）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．