Question

某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長(zhǎng)比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方…．請(qǐng)你協(xié)助他們探索這個(gè)問題．
（1）寫出判定扇形相似的一種方法：若

 

，則兩個(gè)扇形相似；
（2）有兩個(gè)圓心角相等的扇形，其中一個(gè)半徑為a、弧長(zhǎng)為m，另一個(gè)半徑為2a，則它的弧長(zhǎng)為

 

；
（3）如圖1是一完全打開的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30cm，現(xiàn)要做一個(gè)和它形狀相同、面積是它一半的紙扇（如圖2），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑．

Answer 1

分析：（1）扇形的半徑是不同的，扇形相似，只需圓心角相等即可；
（2）相似扇形的半徑之比應(yīng)等于弧長(zhǎng)之比，弧長(zhǎng)也應(yīng)是m的2倍；
（3）圓心角應(yīng)不變，半徑之比是面積之比的算術(shù)平方根．

解答：解：（1）答案不唯一，
例如“圓心角相等”、“半徑和弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例”（3分）

（2）m=

nπa

180

，
∴n=

180m

πa

，
弧長(zhǎng)=

180m πa πa

180

=2m．（4分）

（3）∵兩個(gè)扇形相似，
∴新扇形的圓心角為120°（2分）
設(shè)新扇形的半徑為r，
則（

r

30

）²=

1

2

?r=15

2

．
即新扇形的半徑為15

2

cm．（3分）

點(diǎn)評(píng)：相似扇形的圓心角相等，對(duì)應(yīng)邊，弧長(zhǎng)，周長(zhǎng)之比等于相似比，面積比等于相似比的平方．