Question

已知：如圖，等邊三角形AOB的頂點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，點B在x軸上．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的函數(shù)表示式；
（3）在y軸上是否存在點P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點P的坐標都寫出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出OB的長，然后根據(jù)等邊三角形的特點用OB的長表示出△OAB的面積，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式知，△OAB的面積為，聯(lián)立其面積表達式即可求得OB的長，從而確定點B的坐標．
（2）已知等邊三角形的邊長，易求得A點的坐標，然后用待定系數(shù)法求解即可．
（3）首先設出P點的坐標，然后分別表示出OP²、OA²、AP²，分三種情況討論：
①OP=OA，②OP=AP，③OA=AP，根據(jù)三種情況下所能列出的不同等量關(guān)系式，可求得符合題意的點P坐標．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，△OAB的面積為；（1分）
設OB=a，S_△OAB==，（2分）
∴OB=2，∴B（2，0）．（3分）

（2）易知A（1，），（4分）
把A（1，），B（2，0），代入y=kx+b得，（5分）
解得，k=-，b=2；
∴y=-x+2．（6分）

（3）符合條件的點P有：
（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．（9分）
（1-2個點（1分），3個點（2分），4個3分）
理由：設點P（0，y），已知A（1，），O（0，0）；
則AP²=1+（y-）²，OP²=y²，OA²=4；
①當OP=AP時，OP²=AP²，即：
y²=1+（y-）²，解得y=，
∴P（0，）；
②當AP=OA時，AP²=OA²，即：
1+（y-）²=4，整理得：y²-2y=0，
解得y=0（舍去），y=2，
∴P（0，2）；
③當OP=OA時，OP²=OA²，即：
y²=4，解得y=±2，
∴P（0，2）或（0，-2）；
綜上可知：符合條件的P點有四個，且坐標為：P（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．
點評：此題考查的知識點有：等邊三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及等腰三角形的構(gòu)成情況等知識，要注意（3）題要根據(jù)等腰三角形不同的腰和底分類討論，以免漏解．