Question

9、對任給的93個互異的正整數a₁，a₂，…，a₉₃，試證其中一定存在四個正整數a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數．

Answer 1

分析：先把1998分解成兩個整數乘積的形式，再根據在93個互異的正整數a₁，a₂，…，a₉₃中必然存在這樣的四個正整數進行解答即可．

解答：解：∵1998=37×54=74×27，
（1）由抽屜原理可知：
在93個互異的正整數a₁，a₂，…，a₉₃中，必有兩個數除以37后余數相同，設這兩個數為a_m和a_n，則a_m-a_n是37的倍數；
在剩下的91個數中，必有兩個數除以54后余數相同，設這兩個數為a_p和a_q，則a_p-a_q是54的倍數，
故一定存在四個正整數a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數．

（2）由抽屜原理可知：
在93個互異的正整數a₁，a₂，…，a₉₃中，必有兩個數除以74后余數相同，設這兩個數為a_m和a_n，則a_m-a_n是74的倍數；
在剩下的91個數中，必有兩個數除以27后余數相同，設這兩個數為a_p和a_q，則a_p-a_q是27的倍數，
故一定存在四個正整數a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數．
綜上，一定存在四個正整數a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數．

點評：本題考查的是數的整除性問題，解答此題的關鍵是熟知抽屜原理．