【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,點M為AB上的一動點,將矩形ABCD沿某一直線對折,使點C與點M重合,該直線與AB(或BC)、CD(或DA)分別交于點P、Q

(1)用直尺和圓規(guī)在圖甲中畫出折痕所在直線(不要求寫畫法,但要求保留作圖痕跡)
(2)如果PQ與AB、CD都相交,試判斷△MPQ的形狀并證明你的結論;
(3)設AM=x,d為點M到直線PQ的距離,y=d2 ,
①求y關于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;
②當直線PQ恰好通過點D時,求點M到直線PQ的距離.

【答案】
(1)

解:如圖1所示:


(2)

解:△MPQ是等腰三角形;理由如下:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,CD=AB=10,

∴∠QCO=∠PMO,

由折疊的性質得:PQ是CM的垂直平分線,

∴CQ=MQ,OC=OM,

在△OCQ和△OMP中, ,

∴△OCQ≌△OMP(ASA),

∴CQ=MP,

∴MP=MQ,

即△MPQ是等腰三角形


(3)

解:①作MN⊥CD于N,如圖2所示:

則MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,

在Rt△MCN中,由勾股定理得:CM2=MN2+CN2,

即(2d)2=62+(10﹣x)2,

整理得:d2= x2﹣5x+34,

即y= x2﹣5x+34(0≤x≤10);

②當直線PQ恰好通過點D時,如圖3所示:

則Q與D重合,DM=DC=10,

在Rt△ADM中,AM= =8,

∴BM=10﹣8=2,

∴CM= = =2

∴d= CM= ,

即點M到直線PQ的距離為


【解析】(1)作線段CM的垂直平分線即可;(2)由矩形的性質得出AB∥CD,CD=AB=10,得出∠QCO=∠PMO,由折疊的性質得出PQ是CM的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質得出CQ=MQ,由ASA證明△OCQ≌△OMP,得出CQ=MP,得出MP=MQ即可;(3)①作MN⊥CD于N,如圖2所示:則MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,在Rt△MCN中,由勾股定理得出(2d)2=62+(10﹣x)2 , 即可得出結果;②當直線PQ恰好通過點D時,Q與D重合,DM=DC=10,由勾股定理求出AM,得出BM,再由勾股定理求出CM,即可得出結果.本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的性質、折疊的性質、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理等知識;本題綜合性強,有一定難度,證明三角形全等和運用勾股定理是解決問題的關鍵.

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①求證:BD⊥CF;
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