Question

【題目】如圖，在以AB為直徑的半圓中，將弧BC沿弦BC折疊交AB于點(diǎn)D，若AD=5，DB=7．

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）求圓心到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圓心到BC的距離為．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：；若連接CD、AC，則∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為E，則DE=AD，由此可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ABC中，根據(jù)射影定理求出BC的長(zhǎng)．

（2）設(shè)圓心到BC的距離為h，利用勾股定理解答即可．

（1）連接CA、CD；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得：；

∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；

∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；

過(guò)C作CE⊥AB于E，則AE=DE=2.5；

∴BE=BD+DE=9.5；

在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得：

BC2=BEAB=9.5×12=114；

故BC=．

（2）設(shè)圓心到BC的距離為h，圓的半徑為r=6，

由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，

∴，

∵sin=，

∴h=，

故圓心到BC的距離為．