Question

（2009•杭州）已知平行于x軸的直線y=a（a≠0）與函數(shù)y=x和函數(shù)y=的圖象分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，又有定點(diǎn)P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）在過(guò)A，B兩點(diǎn)且頂點(diǎn)在直線y=x上的拋物線中，已知線段AB=，且在它的對(duì)稱軸左邊時(shí)，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；
（3）已知經(jīng)過(guò)A，B，P三點(diǎn)的拋物線，平移后能得到y(tǒng)=x²的圖象，求點(diǎn)P到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），利用三角函數(shù)求出m與n的值以及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）依題意可知拋物線開口向下，設(shè)點(diǎn)A（a，a），B（，a）求出a值．設(shè)二次函數(shù)為y=k（x+把點(diǎn)A代入求得k值以及函數(shù)解析式．
（3）依題意可求出拋物線的對(duì)稱軸為x=+．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出a值．
解答：解：（1）設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)B（m，n），
則tan∠POB=，
得m=9n，
又點(diǎn)B在函數(shù)y=的圖象上，得n=，
所以m=3（-3舍去），
點(diǎn)B為（3，），
而AB∥x軸，所以點(diǎn)A（，），
所以AB=3-．

（2）由條件可知所求拋物線開口向下，
設(shè)點(diǎn)A（a，a），B（，a），
則AB=-a=，
所以3a²+8a-3=0，
解得a=-3或a=．
當(dāng)a=-3時(shí)，點(diǎn)A（-3，-3），B（-，-3），
因?yàn)轫旤c(diǎn)在y=x上，
所以頂點(diǎn)為（-，-），
所以可設(shè)二次函數(shù)為y=k（x+）²-，
點(diǎn)A代入，解得k=-，
所以所求函數(shù)解析式為y=-（x+）²-
同理，當(dāng)a=時(shí)，所求函數(shù)解析式為y=-（x-）²+；

（3）設(shè)A（a，a），B（，a），由條件可知拋物線的對(duì)稱軸為x=+，
設(shè)所求二次函數(shù)解析式為：y=（x-2）（x-（a+）+2），
點(diǎn)A（a，a）代入，
解得a₁=3，，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離為3或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，較為復(fù)雜．