【題目】正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線相交于點(diǎn)P,拋物線L經(jīng)過O,P,A三點(diǎn),點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

①直接寫出O,P,A三點(diǎn)坐標(biāo);

②求拋物線L的表達(dá)式;

(2)求△OAE與△OCE面積之和的最大值.

【答案】(1)建立平面直角坐標(biāo)系見解析點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)拋物線L的表達(dá)式為y=- x22x;(2)OAE與△OCE面積之和最大值為9.

【解析】試題分析:(1)以O點(diǎn)為原點(diǎn),線段OA所在的直線為x軸,線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)OP、A三點(diǎn)的坐標(biāo);設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c,結(jié)合點(diǎn)O、PA的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)由點(diǎn)E為正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),結(jié)合三角形的面積公式找出SOAE+SOCE關(guān)于m的函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)以O點(diǎn)為原點(diǎn),線段OA所在的直線為x軸,線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.

①∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線相交于點(diǎn)P

點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2).

設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn),

, 解得:拋物線L的解析式為y=﹣+2x

2點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn), 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,+2m)(0m4),

∴SOAE+SOCE=OAyE+OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣m﹣32+9,

當(dāng)m=3時(shí),△OAE△OCE面積之和最大,最大值為9

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