Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形△BOC相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：

，

解得： ，

所以函數(shù)解析式為：y=x2+2x

（2）

解：①以AE為邊時(shí)，∵A，O，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴DE=AO=2，D在x軸向方不可能，

∴D在x軸上方，且DE=2，當(dāng)D點(diǎn)在對稱軸直線x=﹣1的右側(cè)時(shí)，D的坐標(biāo)為（1，3）；

當(dāng)D點(diǎn)在對稱軸直線x=﹣1的左側(cè)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，3），

②以AO為對角線時(shí)，則DE與AO互相平分，

∵點(diǎn)E在對稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，

由對稱性可知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（﹣1，﹣1），

綜上點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣3，3）（﹣1，﹣1）

（3）

解：假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，如圖 ，

設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①若△PMA∽△COB，則 = ，

即x+2=3（x2+2x），得

x1= ，x2=﹣2（舍去），當(dāng)x= 時(shí)，y= ，即P（ ， ）；

②若△PMA∽△BOC， = ，

即：x2+2x=3（x+2），

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）

故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別（ ， ）或（3，15）

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo)；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得答案；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．