Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）.過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，連接DE、EF.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE與△BAO相似；
（2）寫(xiě)出以點(diǎn)D、F、E、O為頂點(diǎn)的四邊形面積s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）是否存在這樣一個(gè)時(shí)刻，此時(shí)以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如果存在，求出相應(yīng)的t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）5或；（2）s＝＝24－（0＜t≤10），s＝（t＞10）；（3）或25s時(shí)

試題分析：（1）由直線(xiàn)y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，可得OB＝6，OA＝8，則可得AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，由△BDE與△BAO具有公共角∠ABO可得當(dāng)或時(shí)兩三角形相似，即可求得結(jié)果；
（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，先證得△ADF∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得四邊形DFEB為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，
根據(jù)梯形的面積公式求解即可；
（3）分①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，證得四邊形DFEB為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定分析即可.
（1）∵直線(xiàn)y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，
∴OB＝6，OA＝8，
則AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，
∵△BDE與△BAO具有公共角∠ABO．
∴當(dāng)或時(shí)兩三角形相似．
即或，解得t＝5或．
∴當(dāng)t為5或時(shí)，△BDE與△BAO相似．
（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF∶BO＝AD∶AB＝AF∶OA，∴DF＝，AF＝，
∴BE＝DF，∴四邊形DFEB為平行四邊形，S_△DEF＝S_△BEF＝S_DFEB,
∴四邊形OFDE的面積等于△BOF的面積，
∴s＝BO·OF＝×6×(8－)＝24－（0＜t≤10）．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，
s＝(OE＋DF)·OF＝×(－6＋)×＝（t＞10）
（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，已知四邊形DFEB為平行四邊形，只需保證BD＝BE，即可保證四邊形DFEB是菱形，即10－t＝，解得t＝．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，易證四邊形BEFD為平行四邊形，只需保證BD＝BE，即可保證四邊形DFEB是菱形，即t－10＝，解得t＝25．
綜上所述，當(dāng)t的值為或25時(shí)，以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．