Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)A（2，0），B（-2，-4），對稱軸為直線x=-1．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若-3＜x＜3，直接寫出y的取值范圍；
（3）若一元二次方程ax²+bx+c-m=0（a≠0，m為實(shí)數(shù)）在-3＜x＜3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（2，0），對稱軸為直線x=-1求出拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將B（-2，-4）代入求a的值即可；
（2）根據(jù)解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知頂點(diǎn)在-3＜x＜3范圍內(nèi)，比較頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，x=±3時的函數(shù)值，即可確定y的取值范圍；
（3）將一元二次方程ax²+bx+c-m=0看作二次函數(shù)m=ax²+bx+c，可知m=y，由（2）可知m的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為y=a（x+4）（x-2），將B（-2，-4）代入，得
a•（-2+4）•（-2-2）=-4，解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x+4）（x-2），即y=

1

2

x²+x-4；

（2）當(dāng)x=-1時，y=

1

2

x²+x-4=-4

1

2

，
當(dāng)x=-3時，y=

1

2

x²+x-4=-2

1

2

，
當(dāng)x=3時，y=

1

2

x²+x-4=3

1

2

，
∴-4

1

2

≤y＜3

1

2

；

（3）由（2）的結(jié)論可知，-4

1

2

≤m＜3

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)求另一交點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)頂點(diǎn)為最低點(diǎn)確定函數(shù)值的取值范圍．