精英家教網(wǎng)如圖,P為△ABC的邊BC上的任意一點(diǎn),設(shè)BC=a,
當(dāng)B1、C1分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí),B1C1=
1
2
a

當(dāng)B2、C2分別為BB1、CC1的中點(diǎn)時(shí),B2C2=
3
4
a
,
當(dāng)B3、C3分別為BB2、CC2的中點(diǎn)時(shí),B3C3=
7
8
a
,
當(dāng)B4、C4分別為BB3、CC3的中點(diǎn)時(shí),B4C4=
15
16
a
,
當(dāng)B5、C5分別為BB4、CC4的中點(diǎn)時(shí),B5C5=
 
,

當(dāng)Bn、Cn分別為BBn-1、CCn-1的中點(diǎn)時(shí),則BnCn=
 
;
設(shè)△ABC中BC邊上的高為h,則△PBnCn的面積為
 
(用含a、h的式子表示).
分析:設(shè)AB=b,則AB1=
1
2
b,AB2=(
1
2
+
1
22
)b=
22-1
22
b,AB3=(
1
2
+
1
22
+
1
23
)b=
23-1
23
b,由此可得AB5=(
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
)b=
25-1
25
b,ABn=(
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)b=
2n-1
2n
b,即
ABn
AB
=
2n-1
2n
,再利用三角形相似求BnCn及△PBnCn的面積.
解答:解:設(shè)AB=b,∵B5C5∥BC,∴△AB5C5∽△ABC,∴
B5C5
BC
=
AB5
AB

B5C5=
BC
AB
•AB5=
a
b
25-1
25
b=
31
32
a,
同理可得△ABnCn∽△ABC,
BnCn
BC
=
ABn
AB

BnCn=
BC
AB
•ABn=
a
b
2n-1
2n
b=
2n-1
2n
a,
設(shè)△ABnCn中BnCn邊上的高為hn,則
hn
h
=
BnCn
BC
,即hn=
2n-1
2n
h,
∴S△PBnCn=
1
2
BnCn•(h-hn)=
2n-1
22n+1
ah.
故答案為:
31
32
a,
2n-1
2n
a,
2n-1
22n+1
ah.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)的運(yùn)用.關(guān)鍵是由易到難,找出求邊長和高的一般規(guī)律.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、如圖,⊙O為△ABC的外接圓,BC為直徑,AC=AB,則∠D的度數(shù)為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、如圖,AD為△ABC的高,E為AC上一點(diǎn),BE交AD于F,且有BF=AC,F(xiàn)D=CD,那么BE⊥AC嗎?為什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,∠C=90度,OA的延長線交BC于點(diǎn)D,AC=4,CD=1,則⊙O的半徑等于( 。
A、
4
5
B、
5
4
C、
3
4
D、
5
6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5、如圖,⊙O為△ABC的外接圓,且∠A=30°,AB=8cm,BC=5cm,則⊙O的半徑=
5
cm,點(diǎn)O到AB的距離為
3
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,G為△ABC的重心,其中∠C=90°,D在AB上,GD⊥AB.若AB=29,AC=20,BC=21,則GD的長度為何?( 。
A、7
B、14
4
9
C、
140
29
D、
420
29

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