【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=,BO=1,AB的垂直平分線交AB于點E,交射線BO于點F,點P從點A出發(fā)沿射線AO以每秒2個單位的速度運動,同時點Q從點O出發(fā)沿OB方向以每秒1個單位的速度運動,當(dāng)點Q到達(dá)點B時,點P、Q同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒.

(1)①當(dāng)t為何值時,PQ∥AB;②當(dāng)t為何值時,PQ∥EF;

(2)當(dāng)點P在O的左側(cè)時,記四邊形PFEQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)以O(shè)為原點,OA所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,若P、Q關(guān)于點O的對稱點分別為P′、Q′,當(dāng)線段P′Q′,與線段EF有公共點時,拋物線y=ax2+1經(jīng)過P′Q′的中點,此時的拋物線與x正半軸交于點M;

①求a的取值范圍;

②求點M移動的運動速度.

【答案】(1)當(dāng)t=時,PQ∥AB;當(dāng)t=時,PQ∥E

(2)S=t2+t﹣;

(3)﹣16≤a≤﹣2

單位長度/秒

【解析】

試題分析:(1)由△OPQ∽△OAB,得列出方程即可解決問題.

(2)過點E作EG⊥BF,根據(jù)S=QF×EG+QF×OP=QF(EG+OP)計算即可.

(3)①由圖象3,可知,≤t≤1時,線段P′Q′,與線段EF有公共點,分別求出t=,t=1時a的值即可解決問題.

②分別求出a=﹣16,a=﹣2時,點M坐標(biāo)即可解決問題.

試題解析:(1)如圖1中,①∵PQ∥AB,

∴△OPQ∽△OAB,

,

∵AP=2t,OQ=t,OA=,BO=1,

,

∴t=,

∴當(dāng)t=時,PQ∥AB;

②∵PQ∥EF,

∴∠QPO=∠ENA,

∵∠AEN=∠QOP=90°,

∴△ANE∽△QOP,

∵∠AOB=90°,

∴tanA==,

∴∠A=∠PQO=30°,

=

∴t=

∴當(dāng)t=時,PQ∥EF;

(2)如圖2中,過點E作EG⊥BF,

∵∠BAO=30°,

∴∠OBA=90°﹣∠BAO=60°,

∵BG=1﹣t,

∵EF為AB的垂直平分線,

∴BE=1,DF=1,

在Rt△BEA中,∠BEG=60°,BE=1,

∴EG=,

∴S=QF×EG+QF×OP=QF(EG+OP)=t2+t﹣;

(3)如圖3中,①設(shè)EF與x軸交于點G.

在RT△AEG中,∵∠AEG=90°,AE=1,∠EAG=30°,

∴cos∠EAG=,

∴AG=,OG=

當(dāng)P′1與點G重合時,t=(+)÷2=,

由圖象可知,≤t≤1時,線段P′Q′,與線段EF有公共點,

當(dāng)t=時,P′1Q′1的中點坐標(biāo)(,﹣),代入y=ax2+1得到,a=﹣16,

當(dāng)t=1時,P′2Q′2的中點坐標(biāo)(,﹣),代入y=ax2+1得到,a=﹣2,

∴﹣16≤a≤﹣2.

②當(dāng)a=﹣16時,拋物線y=﹣16x2+1,與正半軸交于點M(,0),

當(dāng)a=﹣2時,拋物線y=﹣2x2+1,與正半軸交于點M(,0),

∴點M移動的運動速度==單位長度/秒.

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