Question

如圖，在直角坐標系中，半徑為5的圓與x軸交于A、B兩點，y軸相切于T點，且A，T是直線y=-2x+4與x軸，y軸的交點．
（1）求點T、A、B的坐標；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點，并且頂點D在圓上，求D點坐標；
（3）求出（2）中A、B、D三點且使△ABD的面積是27的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據直線AT的解析式求出T、A的坐標，根據OT的長和圓的半徑即可得出圓心的坐標，根據圓的對稱性以及A點的坐標即可求出B點的坐標．
（2）根據圓和拋物線的對稱性可知，拋物線的頂點D和圓心M同在拋物線的對稱軸上．設圓心為M，連接MA，MB，設過M且與y軸平行的直線與AB交于E，根據勾股定理即可求出ME的長，根據圓的半徑的長和ME的長即可求出D點的坐標．
（3）根據△ABD的面積即可求出符合條件的D點，然后用待定系數法求解即可．

解答：解：（1）設圓心為M，連接MT，MA，MB，過M作ME⊥AB于E．
∵OT與圓M相切，且T為切點，
易知：T（0，4），
∴ME=OT=4，
∴M（5，4），
易知：A（2，0），根據圓的對稱性可知：B（8，0），

（2）根據拋物線和圓的對稱性可知點D和點M必在拋物線的對稱軸x=5上，
由（1）知ME=4，
因此D（5，9）或（5，-1）．

（3）已知S_△ABD=

1

2

AB•|y_D|=3•|y_D|=27，
∴|y_D|=9，由（2）知D（5，9），
設拋物線的解析式為y=a（x-5）²+9，則有a（8-5）²+9=0，a=-1，
∴y=-（x-5）²+9．

點評：本題主要考查了切線的性質、圓和拋物線的對稱性、二次函數解析式的確定等知識．要注意（2）中不確定D點在x軸上方還是下方時要分類討論不要漏解．