【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,cosB=,G為BC上一點(diǎn)(不與B重合),以BG為直徑的圓O交AB于D,作AD的垂直平分線(xiàn)交AD于F,交AC于E,連結(jié)DE.
(1)求證:DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)若BG=3,求DE的長(zhǎng);
(3)設(shè)BG=x,DE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系,寫(xiě)出y的最小值.
【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析;(2)、;(3)、y與x的函數(shù)關(guān)系是y=,(0<x≤6),y的最小值是4.
【解析】
試題分析:(1)、連接OD、DG,由BG為圓的直徑可知∠BDG是直角,然后只要證明∠ODE=90°,即可證明結(jié)論成立,根據(jù)題目中的條件可以得到∠ODE=90°,本題得以解決;(2)、根據(jù)題目中的條件和勾股定理,可以轉(zhuǎn)化為直角三角形ODE和直角三角形OCD兩直角邊的平方等于OE的平方,從而可以得到DE的長(zhǎng);(3)、根據(jù)(2)中的求解方法,可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),可以得到y(tǒng)的最小值.
試題解析:(1)、連接OD、DG,如右圖所示, ∵BG為⊙O的直徑,OD=OB,∠ACB=90°,
∴∠BDG=90°,∠ODB=∠B,∠B+∠A=90°, ∴∠A=∠ODG,∠GDE+∠EDA=90°,
又∵EF是AD的垂直平分線(xiàn), ∴∠A=∠EDA, ∴∠EDA=∠ODG, ∴∠GDE+∠ODG=90°,
即OD⊥DE, ∵OD是⊙O的半徑, ∴DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)、連接OE,如右上圖所示,
∵∠ACB=90°,AB=10,cosB=, ∴BC=ABcosB=6,AC=8, ∵BG=3,
∴OD=1.5,OC=BC﹣OB=6﹣1.5=4.5, ∵EF是AD的垂直平分線(xiàn), ∴EA=ED,
設(shè)EA=x,則ED=x,EC=8﹣x, ∵∠ECO=90°,∠EDO=90°, ∴DE2+OD2=EC2+OC2,
即x2+1.52=(8﹣x)2+4.52, 解得,x=, 即DE的長(zhǎng)是;
(3)、連接OE,如右上圖所示,
∵∠ACB=90°,AB=10,cosB=, ∴BC=ABcosB=6,AC=8, ∵BG=x,
∴OD=0.5x,OC=BC﹣OB=6﹣0.5x, ∵EF是AD的垂直平分線(xiàn),ED=y, ∴EA=ED=y, ∴EC=8﹣y,
∵∠ECO=90°,∠EDO=90°, ∴DE2+OD2=EC2+OC2, 即y2+(0.5x)2=(8﹣y)2+(6﹣0.5x)2,
化簡(jiǎn),得y=,(0<x≤6) ∵﹣<0, ∴y隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=6時(shí),y取得最小值,此時(shí)y==4, 即y與x的函數(shù)關(guān)系是y=,(0<x≤6),y的最小值是4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是芳芳設(shè)計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),上面寫(xiě)有10個(gè)有理數(shù)。想想看,轉(zhuǎn)得下列各數(shù)的概率是多少?
(1)轉(zhuǎn)得正數(shù);
(2)轉(zhuǎn)得正整數(shù);
(3)轉(zhuǎn)得絕對(duì)值小于6的數(shù);
(4)轉(zhuǎn)得絕對(duì)值大于等于8的數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( )
A.k≤﹣4
B.k≥﹣4
C.k≤4
D.k>4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀探索題:
(1)如圖1,OP是∠MON的平分線(xiàn),以O為圓心任意長(zhǎng)為半徑作弧,交射線(xiàn)ON,OM為C,B兩點(diǎn),在射線(xiàn)OP上任取一點(diǎn)A(O點(diǎn)除外),連接AB,AC,求證:△AOB≌△AOC.
(2)請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題:
①如圖2:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系;
②如圖3,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各數(shù)中,是近似數(shù)的是( )。
A.七(1)班共有65名同學(xué)
B.足球比賽每方共有11名球員
C.光速是300000000米/秒
D.小王比小華多2元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣4).
(1)求二次函數(shù)的解析式,并寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)E時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),當(dāng)∠BEC=90°時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)若P(m,n)是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n<0),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車(chē) 間生產(chǎn)一批圓柱形機(jī)器零件,從中抽出了 6 件進(jìn)行檢驗(yàn),把標(biāo)準(zhǔn)直徑的長(zhǎng)記為 0,比標(biāo)準(zhǔn)直徑長(zhǎng)的記為正數(shù),比標(biāo)準(zhǔn)直徑短的記為負(fù)數(shù),檢查記錄如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
+0.2 | ﹣0.3 | ﹣0.2 | +0.3 | +0.4 | ﹣0.1 |
則第_________個(gè)零件最符合標(biāo)準(zhǔn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某海域有A、B、C三艘船正在捕魚(yú)作業(yè),C船突然出現(xiàn)故障,向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號(hào),此時(shí)B船位于A(yíng)船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A(yíng)船的北偏東33°方向,同時(shí)又位于B船的北偏東78°方向.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)A船以每小時(shí)30海里的速度前去救援,問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間能到出事地點(diǎn).(結(jié)果精確到0.01小時(shí)).
(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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