【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=6,∠DBC=30°,DM平分∠BDC交BC于M,△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,點F、G、B、C共線,且G、B重合,△EFG沿折線B﹣M﹣D方向以每秒 個單位長度平移,得到△E1F1G1 , 平移過程中,點G1始終在折線B﹣M﹣D上,△E1F1G1與△DBM無重疊時,△E1F1G1停止運動,設(shè)△E1F1G1與△DBM重疊部分面積為S,平移時間為t,
(1)當△E1F1G1的頂點G1恰好在BD上時,t=秒;
(2)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,及自變量t的取值范圍;
(3)如圖2,△E1F1G1平移到G1與M重合時,將△E1F1G1繞點M旋轉(zhuǎn)α°(0°<α<180°)得到△E2F2G1 , 點E1、F1分別對應(yīng)E2、F2 , 設(shè)直線F2E2與直線DM交于P,與直線DC交于Q,是否存在這樣的α,使△DPQ為直角三角形?若存在,求α的度數(shù)和DQ的長;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)3
(2)
解:在Rt△DCM中,∵∠C=90°,CD=6,∠CDM=30°,
∴CM=2 ,DM=4 ,
∴BM=4 .
①如圖2中,當0<t≤4時,重疊部分是四邊形NF1GH,
S=S ﹣S = ×3× ﹣ (2 ﹣ t)(2﹣ t)=﹣ t2+2 t﹣ ,
②如圖3中,當4<t≤7時,重疊部分是四邊形GHNF1,
S=S ﹣S = ﹣ [2 ﹣ (8 ﹣ t)][2﹣
③如圖4中,當7<t≤8時,重疊部分是△GHN,
S= (8 ﹣ t) (8 ﹣ t)= t2﹣6 t+24 ,
綜上所述,S=
(3)
解:存在.
理由:①如圖5中,當∠DQP=90°時,
∵∠QCM=∠CQF2=∠QF2M=90°,
∴四邊形MCQF2是矩形,
∴CQ=MF2= ,∠F2MC=90°
∴α=90°,DQ=CD﹣CQ=6= .
②如圖6中,當∠DPQ=90°時,點P與點F2重合,點E、Q、C重合,此時α=120°,DQ=CD=6.
綜上所述,當α=90°,DQ=6﹣ 或α=120°,DQ=6時,△DPQ為直角三角形
【解析】解:(1)如圖1中,連接AC交BD于點O,作OH⊥BC于點H.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,BO=OD,
∴BH=HC,
∴OH= CD=3,
在Rt△DBC中,∵CD=6,∠DBC=30°,
∴BC=6 ,BD=12,BH=HC=3
∵在△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,
∴EF=3,EB=2 ,
∴當△E1F1G1的頂點E1恰好在BD上時,點E平移到點O處.
此時t= =3,
∴t=3時,△E1F1G1的頂點E1恰好在BD上,
所以答案是3.
【考點精析】關(guān)于本題考查的翻折變換(折疊問題),需要了解折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案.
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【題目】我們把a、b兩個數(shù)中較小的數(shù)記作min{a,b},直線y=kx﹣k﹣2(k<0)與函數(shù)y=min{x2﹣1、﹣x+1}的圖象有且只有2個交點,則k的取值為
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論
①a>0,②b>0,③c>0,④b2﹣4ac>0
其中正確的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,延長CB至M,使BM=2,連接AM,BN⊥AM于N,O是AC、BD的交點,連接ON,則ON的長為
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【題目】《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定:小汽車在城街路上行駛速度不得超過70 km/h,如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀 A的正前方60 m處的C點,過了5 s后,測得小汽車所在的B點與車速檢測儀A之間的距離為100 m.
(1)求B,C間的距離.
(2)這輛小汽車超速了嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,當EF+CF取得最小值時,∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【題目】長城科技公司生產(chǎn)銷售一種電子產(chǎn)品,該產(chǎn)品總成本包括技術(shù)成本、制造成本、銷售成本三部分,經(jīng)核算,2014年該產(chǎn)品各部分成本所占比例約為2:a:1.且2014年該產(chǎn)品的技術(shù)成本、制造成本分別為400萬元、1400萬元.
(1)確定a的值,并求2014年產(chǎn)品總成本為多少萬元;
(2)為降低總成本,該公司2015年及2016年增加了技術(shù)成本投入,確保這兩年技術(shù)成本都比前一年增加一個相同的百分數(shù)m(m<50%),制造成本在這兩年里都比前一年減少一個相同的百分數(shù)2m;同時為了擴大銷售量,2016年的銷售成本將在2014年的基礎(chǔ)上提高10%,經(jīng)過以上變革,預(yù)計2016年該產(chǎn)品總成本達到2014年該產(chǎn)品總成本的 ,求m的值.
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