Question

選取二次三項式ax²+bx+c（a≠0）中的兩項，配成完全平方式的過程叫做配方．例如
①選取二次項和一次項配方：x²-4x+2=（x-2）²-2；
②選取二次項和常數(shù)項配方：x²-4x+2=（x-

2

）²+（2

2

-4）x，或x²-4x+2=（x+

2

）²-（4+2

2

）x；
③選取一次項和常數(shù)項配方：x²-4x+2=（

2

x-

2

）²-x²．
根據(jù)上述材料，解決下面問題：
（1）寫出x²-8x+4的兩種不同形式的配方；
（2）若x²+y²+xy-3y+3=0，求xy的值；
（3）若關(guān)于x的代數(shù)式9x²-（m+6）x+m-2是完全平方式，求m的值；
（4）用配方法證明：無論x取什么實數(shù)時，總有x²+4x+5≥1恒成立．

Answer 1

分析：（1）可選取二次項和一次項配方或選取二次項和常數(shù)項配方；
（2）利用配方法得到（x+

1

2

y）²+3（

1

2

y-1）²=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得x+

1

2

y=0，

1

2

y-1=0，然后解出x、y，即可得到xy的值；
（3）由于代數(shù)式9x²-（m+6）x+m-2是完全平方式，則9x²-（m+6）x+m-2=0有等根，所以（m+6）²-4×9×（m-2）=0，然后解關(guān)于m的一元二次方程；
（4）配方得到x²+4x+5=（x+2）²+1，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答：（1）解：①選取二次項和一次項配方：x²-8x+4=（x-4）²-12；
②選取二次項和常數(shù)項配方：x²-8x+4=（x-2）²-4x；
（2）解：∵x²+y²+xy-3y+3=0，
∴（x+

1

2

y）²+3（

1

2

y-1）²=0，
∴x+

1

2

y=0，

1

2

y-1=0，
∴x=-1，y=2，
∴xy=-2；
（3）解：根據(jù)題意得（m+6）²-4×9×（m-2）=0，解得m=6或m=18；
（4）證明：x²+4x+5=（x+2）²+1，
∵（x+2）²≥0，
∴x²+4x+5≥1．

點評：本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值；配方法的綜合應(yīng)用．