Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，AM平分∠BAC．點(diǎn)E與點(diǎn)M在AC所在直線的兩側(cè)，AE⊥AB，AE＝BC，點(diǎn)N在AC邊上，CN＝AM，連接ME，BN．

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）求ME：BN的值；

（3）問：點(diǎn)M在何處時(shí)BM+BN取得最小值？確定此時(shí)點(diǎn)M的位置，并求此時(shí)BM+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）補(bǔ)圖見解析；（2）ME：BN＝1；（3）當(dāng)點(diǎn)M在∠BAC的平分線上運(yùn)動到它與BE的交點(diǎn)處時(shí)，BM+BN取得最小值，為．

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
（2）延長AM交BC于點(diǎn)D，證明△AME≌△CNB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=BN，得到答案；
（3）根據(jù)ME=BN，得到BM+BN=BM+ME，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理計(jì)算即可．

（1）補(bǔ)全圖形見圖1：

（2）如圖2，延長AM交BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∵AE⊥AB，
∴∠MAE+∠BAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠MAE=∠C，
在△AME和△CNB中，
，
∴△AME≌△CNB（SAS），

∴ME=BN，
∴ME：BN=1；
（3）∵ME=BN，
∴BM+BN=BM+ME，
∴當(dāng)點(diǎn)M在∠BAC的平分線上運(yùn)動到它與BE的交點(diǎn)處時(shí)，BM+BN取得最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴AE=BC=6，
∴BE= ，
∴BM+BN的最小值為．