Question

某班同學(xué)到野外活動(dòng)，為測(cè)量一池塘兩端A、B的距離，設(shè)計(jì)了幾種方案，下面介紹兩種：
（I）如圖（1），先在平地取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，并分別延長(zhǎng)AC到D，BC到E，使DC=AC，BC=EC，最后測(cè)出DE的距離即為AB的長(zhǎng)．
（II）如圖（2），先過(guò)B點(diǎn)作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點(diǎn)，使BC=CD，接著過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長(zhǎng)線于E，則測(cè)出DE的長(zhǎng)即為AB的距離．

閱讀后回答下列問(wèn)題：
（1）方案（I）是否可行？

 

，理由是

 

；
（2）方案（II）是否切實(shí)可行？

 

，理由是

 

．
（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是

 

；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（II）是否成立？
（4）方案（II）中，若使BC=n•CD，能否測(cè)得（或求出）AB的長(zhǎng)？理由是

 

，若ED=m，則AB=

 

．

Answer 1

分析：（1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；由題意可證明△ABC∽△EDC，

AB

ED

=

BC

CD

，故此時(shí)方案（Ⅱ）成立．
（4）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ABC∽△EDC，得出

AB

ED

=

BC

CD

進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有對(duì)頂角∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴測(cè)出DE的距離即為AB的長(zhǎng)．
故方案（Ⅰ）可行．

（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED，
∴測(cè)出DE的長(zhǎng)即為AB的距離．
故方案（Ⅱ）可行．

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；
若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AB

ED

=

BC

CD

，
∴只要測(cè)出ED、BC、CD的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng)．
∵BC=CD，∴ED=AB，
∴方案（Ⅱ）成立．

（4）根據(jù)（3）中所求可以得出，
∴

AB

ED

=

BC

CD

，
∵BC=n•CD，
∴

AB

ED

=n，求出DE即可得出答案，
當(dāng)ED=m，則AB=mn．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的證明及性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練地應(yīng)用此性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．