Question

在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，點(diǎn)E為射線(xiàn)BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，F(xiàn)E分別交線(xiàn)段AB、射線(xiàn)DC于點(diǎn)F、G．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，
①求證：△BEF∽△CEG；
②如設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（2）點(diǎn)E在射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S_△AFD：S_△DEC=3：2？如存在，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）
①證明：∵平行四邊形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，
在Rt△CEG中，∴，
自變量的取值范圍是：0＜x＜3．

（2）
①當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，
∵S_△AFD：S_△DEC=3：2，
∴：=3：2，解得：（符合要求）
②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線(xiàn)（3＜x＜8）上時(shí)，∵S_△AFD：S_△DEC=3：2
∴：=3：2，解得：BE=4（符合要求）
分析：（1）①可通過(guò)平行線(xiàn)間的內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出這兩個(gè)三角形中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可得出相似的結(jié)論．
②根據(jù)①的相似三角形，我們可得出∠G=90°，那么DG就是三角形DEF中EF邊上的高，那么關(guān)鍵是求出EF和CG的長(zhǎng)．直角三角形BEF中，可根據(jù)BE和∠B的度數(shù)，表示出EF的長(zhǎng)，同理可用CE和∠ECG的度數(shù)表示出CG的長(zhǎng)．那么就求出了EF和DG的長(zhǎng)，也就得出了關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）同（1）的方法類(lèi)似，也是用邊和角的度數(shù)通過(guò)三角形函數(shù)求出各三角形的高，然后根據(jù)面積比為3：2得出x的值，然后看是否符合要求即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及二次函數(shù)等綜合知識(shí)的應(yīng)用．根據(jù)已知條件求出各三角形的底和高是解題的關(guān)鍵．