Question

如圖1，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P．
（1）①求證：OE=OF；
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式，并證明你的結論；
（2）如圖2，當∠EOF繞O點逆時針旋轉一個角度，使E、F分別在CD、BC的延長線上，請完成圖形并判斷（1）中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）．

Answer 1

分析：（1）①把OE、OF分別放到兩個三角形中，證明三角形全等即可．
②找到中間跟三條線段有關系的線段OE、OP、OC，由線段之間的關系求解．
（2）畫出圖形，根據(jù)（1）中的求解方法求解，把兩條線段放在兩個三角形中證明三角形全等以及找到中間的線段求解．

解答：解：（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，
∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠OCE，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF．
②EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∵∠OPE是△CPE的外角，
∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP+CP），
∴EF+

2

CP=BC．

（2）①成立．
②不成立應為EF-

2

CP=BC．
圖形如圖所示，
證明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
又∵∠ECP=90°，
∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
∵∠QCP=∠BCO=45°，
∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
∴∠P=∠OEP．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP-CP），
∴EF-

2

CP=BC．

點評：本題考查了正方形的性質，利用正方形的特殊性質求解．結合了三角形全等的問題，并且涉及到探究性的問題，屬于綜合性比較強的問題．要求解此類問題就要對基本的知識點有很清楚的認識，熟練掌握．