Question

【題目】小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別2m和3m的同心圓（如圖），蒙上眼在一定距離外向圈內(nèi)擲小石子，擲中陰影小紅勝，否則小明勝，未擲入圈內(nèi)不算，你來當(dāng)裁判．

（1）你認(rèn)為游戲公平嗎？為什么？

（2）游戲結(jié)束，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率估計(jì)概率的方法，來估算某一不規(guī)則圖形的面積呢”．請你設(shè)計(jì)方案，解決這一問題．（要求補(bǔ)充完整圖形，說明設(shè)計(jì)步驟、原理，寫出估算公式）

Answer 1

【答案】（1）不公平，理由詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）分別計(jì)算出陰影部分面積和非陰影部分面積，小紅勝的概率=S陰影÷S總，小明勝的概率=S非陰影÷S總，則比較陰影部分和小圓面積即可知道是否公平；（2）用一正方形將不規(guī)則圖形包圍起來，根據(jù)用頻率估計(jì)概率來設(shè)計(jì).

解：（1）不公平，理由：

根據(jù)幾何概率的求法：擲中陰影小紅勝的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值；小明勝的概率為小圓面積與總面積的比值，

而計(jì)算可得大圓面積為9π，小圓面積為4π．則陰影部分面積為5π，

則陰影部分面積比小圓面積大．

則小紅勝的概率大于小明勝的概率，

所以該游戲是不公平的，對(duì)小紅有利；

（2）能利用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)方法估算非規(guī)則圖形的面積.

設(shè)計(jì)方案：①設(shè)計(jì)一個(gè)面積為S的正方形將非規(guī)則圖形圍起來，如圖：

②蒙上眼在一定距離外向正方形內(nèi)擲小石子,擲在正方形外不作記錄；

③擲的次數(shù)充分大，記錄并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中擲入正方形內(nèi)m次，n次擲非規(guī)則圖形內(nèi)；

④設(shè)非規(guī)則圖形的面積為S1，用頻率估計(jì)概率，即頻率P（擲入非規(guī)則圖形內(nèi)）=≈概率P（擲入非規(guī)則圖形內(nèi)）=,解得S1≈.