如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（0，m2）（m＞0）在y軸正半軸上，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，分別交拋物線C1：y=
1
4
x2于點(diǎn)A、B，交拋物線C2：y=
1
9
x2于點(diǎn)C、D．原點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，分別連接OA，OB，QC和QD．
【猜想與證明】
填表：
m123
AB
CD
由上表猜想：對任意m（m＞0）均有
AB
CD
=______．請證明你的猜想．
【探究與應(yīng)用】
（1）利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△CQD面積比為______；
（2）當(dāng)△AOB和△CQD中有一個是等腰直角三角形時，求△CQD與△AOB面積之差；
【聯(lián)想與拓展】
如圖②過點(diǎn)A作y軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作y軸的平行線交拋物線C1于點(diǎn)F．在y軸上任取一點(diǎn)M，連接MA、ME、MD和MF，則△MAE與△MDF面積的比值為______．
猜想與證明：
當(dāng)m=1時，1=
1
4
x2，1=
1
9
x2，
∴x=±2，x=±3，
∴AB=4，CD=6，
∴
AB
CD
=
2
3
；
當(dāng)m=2時，4=
1
4
x2，4=
1
9
x2，
∴x=±4，x=±6，
∴AB=8，CD=12，
∴
AB
CD
=
2
3
；
當(dāng)m=3時，9=
1
4
x2，9=
1
9
x2，
∴x=±6，x=±9，
∴AB=12，CD=18，
∴
AB
CD
=
2
3
；
∴填表為
m123
AB
CD
2
3
2
3
2
3
對任意m（m＞0）均有
AB
CD
=
2
3
．
理由：將y=m2（m＞0）代入y=
1
4
x2，得x=±2m，
∴A（-2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
將y=m2（m＞0）代入y=
1
9
x2，得x=±3m，
∴C（-3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴
AB
CD
=
4m
6m
=
2
3
，
∴對任意m（m＞0）均有
AB
CD
=
2
3
；

探究與運(yùn)用：
（1）∵O、Q關(guān)于直線CD對稱，
∴PQ=OP．
∵CD∥x軸，
∴∠DPQ=∠DPO=90°．
∴△AOB與△CQD的高相等．
∵
AB
CD
=
2
3
，
∴AB=
2
3
CD．
∵S△AOB=
1
2
AB•PO，S△CQD=
1
2
CD•PQ，
∴
S△AOB
S△CQD
=
1
2
AB•PO
1
2
CD•PQ
=
2
3
，
（2）當(dāng)△AOB為等腰直角三角形時，如圖3，
∴PO=PB=m2，AB=2OP
∴m2=
1
4
m4，
∴4m2=m4，
∴m1=0，m2=-2，m3=2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴OP=4，AB=8，
∴PD=6，CD=12．
∴S△AOB=
1
2
×8×4=16
∴S△CQD=
1
2
×12×4=24，
∴S△CQD-S△AOB=24-16=8．
當(dāng)△CQD是等腰直角三角形時，如圖4，
∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP
∴m2=
1
9
m4，
∴9m2=m4，
∴m1=0，m2=-3，m3=3．
∵m＞0，
∴m=3，
∴OP=6，AB=12，
∴PQ=9，CD=18．
∴S△AOB=
1
2
×9×12=54
∴S△CQD=
1
2
×9×18=81，
∴S△CQD-S△AOB=81-54=27；

聯(lián)想與拓展
由猜想與證明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2），
∵AE∥y軸，DF∥y軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2m，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3m，
∴y=
1
9
（-2m）2，y=
1
4
（3m）2，
∴y=
4
9
m2，y=
9
4
m2，
∴E（-2m，
4
9
m2），F(xiàn)（3m，
9
4
m2），
∴AE=m2-
4
9
m2=
5
9
m2，DF=
9
4
m2-m2=
5
4
m2．
S△AEM=
1
2
×
5
9
m2•2m=
5
9
m3，
S△DFM=
1
2
×
5
4
m2•3m=
15
8
m3．
∴
S△AEM
S△DFM
=
5
9
m3
15
8
m3
=
8
27
．
故答案為：
2
3
；
2
3
；
8
27
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，若a：b：c=1：4：3，且該函數(shù)的最小值是-3，則解析式為______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段的OM上，點(diǎn)A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長為l，求l的最大值；
（3）連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（除點(diǎn)M外），使得△OPQ也是等腰三角形，簡要說明你的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線y=-2x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為y=x2-（b+10）x+c．
（1）若該拋物線過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y=-2x+b上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好過C點(diǎn)，試確定直線y=-2x+b的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO，點(diǎn)A′的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x為何值時，S的面積最大，最大值是多少？
③是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列四個圖象表示的函數(shù)中，當(dāng)x＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某節(jié)目設(shè)置了如下表所示的翻獎牌．每次翻開一個數(shù)字，考慮”中獎”的可能性有多大．
（1）如果用實驗進(jìn)行估計但又覺得制作翻獎片太麻煩，能否用簡便的模擬實驗來替代？
（2）估計“未中獎”的可能性有多大，“中獎”的可能性有多大，你能找出它們之間的關(guān)系嗎？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，點(diǎn)E（x1，y1）、F（x2，y2）在拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸的同側(cè)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），過點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)B、D，交直線y=2ax+b于點(diǎn)A、C，設(shè)S為直線AB、CD與x軸、直線y=2ax+b所圍成圖形的面積．則S與y1、y2的數(shù)量關(guān)系式為：S=______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，拋物線y=
1
2
x2-
5
2
x與x軸交于O，A兩點(diǎn)．半徑為1的動圓（⊙P），圓心從O點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)A的方向移動；半徑為2的動圓（⊙Q），圓心從A點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)O的方向移動．兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，當(dāng)運(yùn)動到P，Q兩點(diǎn)重合時同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是______（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若⊙P與⊙Q相離，則t的取值范圍是______．

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同步練習(xí)冊答案