Question

如圖給出四個條件：①PA切⊙O于點A；②PB切⊙O于B；③AC為⊙O直徑；④弦CB∥PO．
（1）上述四個條件中任選取三個作為題設，第四個作為結論，寫出一個正確命題．
（2）證明這個命題．
已知：______
求證：______
證明：

Answer 1

【答案】分析：題中的四個結論，可任選3個為題設進行證明，思路大致相同；以選①②③為題設，④為結論進行說明．由于PA、PB為⊙O的切線，可得出的條件有兩個：①△OBP和△OAP是直角三角形；②PA=PB；由此易證得△OBP≌△OAP，即∠PBO=∠POA；由于∠BOA是△BOC的外角，可證得∠POA=∠BCO，由此證得CB∥PO．
解答：解：（1）正確命題有4個，寫出1個即可；
命題一：如果①②③，那么④．命題二：如果①②④，那么③．
命題三：如果②③④，那么①．命題四：如果③④①，那么②．

（2）寫出已知：PA切⊙O于點A；PB切⊙O于B；AC為⊙O直徑，求證：CB∥PO
證明：∵PA切⊙O于點A，PB切⊙O于B；
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB；
又∵OP=OP，
∴△PBO≌△PAO；
∴∠AOP=∠POB；
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO；
∵∠AOB=∠AOP+∠POB=2∠AOP=2∠C，
∴∠C=AOP；
∴CB∥PO．
點評：本題考查的是切線長定理、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形外角與內角的關系以及平行線的判定．