Question

如圖，已知sin∠ABC=

1

3

，⊙O的半徑為2，圓心O在射線BC上，⊙O與射線BA相交于E、F兩點(diǎn)，EF=2

3

．
（1）求BO的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P在射線BC上，以點(diǎn)P為圓心作圓，使得⊙P同時(shí)與⊙O和射線BA相切，求所有滿足條件的⊙P的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接EO，過點(diǎn)O作OH⊥BA于點(diǎn)H．利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求得OH，然后利用告訴的∠B的正弦值求得OB；
（2）⊙P同時(shí)與⊙O和射線BA相切應(yīng)分兩種情況分類討論：①當(dāng)⊙P與⊙O外切；②當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切．

解答：解：（1）連接EO，過點(diǎn)O作OH⊥BA于點(diǎn)H．
∵EF=2

3

，∴EH=

3

．
∵⊙O的半徑為2，即EO=2，
∴OH=1．在Rt△BOH中，
∵sin∠ABC=

1

3

，
∴BO=3．

（2）當(dāng)⊙P與直線相切時(shí)，過點(diǎn)P的半徑垂直此直線．
（a）當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí)，
①⊙P與⊙O切于點(diǎn)D時(shí)，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=

rP

1-rP

=

1

3

，得到：rP=

1

4

；
②⊙P與⊙O切于點(diǎn)G時(shí)，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=

rp

5+rp

=

1

3

，得到：rP=

5

2

．
（b）當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時(shí)，
①⊙P與⊙O切于點(diǎn)D時(shí)，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=

rP

1+rP

=

1

3

，得到：rP=

1

2

；
②⊙P與⊙O切于點(diǎn)G時(shí)，⊙P與射線BA相切，
sin∠ABC=

rP

5-rP

=

1

3

，得到：rP=

5

4

．
綜上所述：滿足條件的⊙P的半徑為

1

4

、

5

2

、

1

2

、

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓相切和兩圓相切的知識(shí)，對(duì)學(xué)生建立系統(tǒng)的與圓相切有關(guān)的知識(shí)體系有很好的促進(jìn)作用．