Question

【題目】如圖，∠MAN＝90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC＝2，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在的直線對稱，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長交A′C所在直線于點(diǎn)F，連接A′E，當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，AB的長為_____．

Answer 1

【答案】或2．

【解析】

當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)∠A'EF＝90°時(shí)，如圖1，根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C＝A'E＝2，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC＝2A'B＝4，最后利用勾股定理可得AB的長；②當(dāng)∠A'FE＝90°時(shí)，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝2．

解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)∠A'EF＝90°時(shí)，如圖1，

∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，

∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，

∵點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠BDE＝∠MAN＝90°，

∴∠BDE＝∠A'EF，

∴AB∥A'E，

∴∠ABC＝∠A'EB，

∴∠A'BC＝∠A'EB，

∴A'B＝A'E，

Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，

∴BC＝2A'E，

由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，

∴AE′＝，

∴AB＝；

②當(dāng)∠A'FE＝90°時(shí)，如圖2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，

∴∠ACF＝90°，

∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝2；

綜上所述，AB的長為或2；

故答案為：或2．