Question

【題目】已知∠MAN．
（1）用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

①作∠MAN的平分線(xiàn)AE；
②在A(yíng)E上任取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線(xiàn)分別與AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的條件下，線(xiàn)段AP與AQ有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

①AE為所求作的角平分線(xiàn)；

②PQ為所求作的垂直平分線(xiàn)

（2）解：AP=AQ．

證明：∵PQ是AB的垂直平分線(xiàn)，

∴∠PGA=∠QGA=90°，

∵AE是∠MAN的平分線(xiàn)，

∴∠PAG=∠QAG，

在△PAG和△QAG中，

，

∴△PAG≌△QAG（ASA），

∴AP=AQ

【解析】（1）①利用角平分線(xiàn)的作法得出即可；②利用垂直平分線(xiàn)的作法得出即可；（2）利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠PGA=∠QGA，進(jìn)而得出△PAG≌△QAG（ASA），則AP=AQ，即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，需要了解垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等才能得出正確答案．