Question

【題目】已知點(diǎn)A，B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A，B，C，D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y= （k＞0），他的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；
（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) ， 寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ， 并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù) ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，

易得CL=小正方形的邊長(zhǎng)=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形邊長(zhǎng)為 ，

∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長(zhǎng)為 或

（2）解：如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此時(shí)，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函數(shù)的解析式為y= ．

（3）（3,4）,y=﹣ x2+ ,偶數(shù)
【解析】解：（3）實(shí)際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個(gè)點(diǎn)都在（3，4）的左側(cè)，而開口向下時(shí)，另一點(diǎn)都在（3，4）的右側(cè)，與上述解析明顯不符合

①當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)為（4，1），對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ；

②當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸正半軸上，點(diǎn)D 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在，

③當(dāng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在

④當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)C為（﹣1，3），對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y= x2+ ；

⑤當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（7，﹣3）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ ；

⑥當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣4，7）時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線為y= x2+ ；

∵由拋物線的伴侶正方形的定義知，一條拋物線有兩個(gè)伴侶正方形，是成對(duì)出現(xiàn)的，

∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù)．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．