Question

【題目】如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點E、D，DF是圓的切線，過點F作BC的垂線交BC于點G．若AF的長為2，則FG的長為 ．

Answer 1

【答案】3

【解析】

試題分析：連結OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根據等邊三角形的性質得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根據切線的性質得OD⊥DF，再證明OD∥AB，則DF⊥AB，在Rt△ADF中根據含30度的直角三角形三邊的關系得DF=AF=2，由BC為⊙O的直徑，根據圓周角定理得∠BDC=90°，則AD=CD=4，OD=4，所以OM=OD=2，在Rt△DFH中可計算出FH=，DH=FH=3，則GM=3，于是OG=GM﹣OM=1，BG=OB﹣OG=3，在Rt△BGF中可計算FG=BG=3．

解：連結OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，

∵DF是圓的切線，

∴OD⊥DF，

∵△ODC為等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠A=∠ODC，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB，

在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，

∴AD=4，DF=AF=2，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴BD⊥AC，

∴AD=CD=4，

∴OD=4，

∴OM=OD=2，

在Rt△DFH中，∠DFH=60°，DF=2，

∴FH=，DH=FH=3，

∴GM=3，

∴OG=GM﹣OM=1，

∴BG=OB﹣OG=3，

在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，

∴FG=BG=3．

故答案為3．