Question

如圖所示，已知兩點A（-1，0），B（4，0），以AB為直徑的半圓P交y軸于點C．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）設弦AC的垂直平分線交OC于D，連接AD并延長交半圓P于點E，與相等嗎？請證明你的結論；
（3）設點M為x軸負半軸上一點，OM=AE，是否存在過點M的直線，使該直線與（1）中所得的拋物線的兩個交點到y(tǒng)軸的距離相等？若存在，求出這條直線對應函數的解析式；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是求出C點的坐標，可通過構建直角三角形來求解．連接BC，即可根據射影定理求出OC的長，也就得出了C點的坐標，已知了A，B，C三點的坐標后即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）求弧AC=弧CE，可通過弧對的圓周角相等來證，即證∠EAC=∠ABC，根據等角的余角相等不難得出∠ACO=∠ABC，因此只需證∠DCA=∠DAC即可．由于PD是AC的垂直平分線，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得出DA=DC，即可證得∠DAC=∠DCA，由此可證出弧AC=弧CE．
（3）可先求出M點的坐標，由于OM=AE，因此要先求出AE的長．如果連接PC，設PC與AE的交點為F，那么OF=OM=AE，OF的長可通過證三角形CAO和AFC全等來得出，有了OM的長就能得出M的坐標．可先設出過M于拋物線相交的直線的解析式．然后根據兩交點到y(tǒng)軸的距離相等，即橫坐標互為相反數，可根據（1）的拋物線的解析式表示出著兩個交點的坐標，然后將兩交點和M的坐標代入直線的解析式中，可得出一個方程組，如果方程組無解，那么不存在這樣的直線，如果有解，可根據方程組的解得出直線的解析式．
解答：解：（1）連接BC
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90度．
∴OC²=OA•OB
∵A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴OC²=4
∴OC=2
∴C的坐標是（0，2）
設經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）
把x=0時，y=2代入上式得
a=-，
∴y=-x²+x+2．

（2）=
證明：∵∠ACB=90度．
∴∠CAB+∠ABC=90度．
∵∠CAB+∠ACO=90度．
∴∠ABC=∠ACO．
∵PD是AC的垂直平分線，
∴DA=DC，
∴∠EAC=∠ACO．
∴∠EAC=∠ABC，
∴=．

（3）不存在．
連接PC交AE于點F
∵=
∴PC⊥AE，AF=EF
∵∠EAC=∠ACO，∠AFC=∠AOC=90°，
AC=CA，
∴△ACO≌△CAF
∴AF=CO=2
∴AE=4
∵OM=AE，
∴OM=2．
∴M（-2，0）
假設存在，設經過M（-2，0）和y=-x²+x+2相交的直線是y=kx+b；
因為交點到y(tǒng)軸的距離相等，所以應該是橫坐標互為相反數，
設兩橫坐標分別是a和-a，則兩個交點分別是（a，-a²+a+2）與（-a，-a²-a+2），
把以上三點代入y=kx+b，得，
解得a無解，所以不存在這樣的直線．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圓周角定理、垂徑定理、三角形全等等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．