Question

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移k個單位，設平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由．
（4）在（2）的條件下，平行于x軸的直線x=t（0＜t＜k） 分別交AC、BC于E、F兩點，試問在x軸上是否存在點P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，請直接寫P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²+x=-（x-3）²+，
頂點坐標為（3，），
所以點D坐標為（3，0）；

（2）拋物線沿它的對稱軸向上平移k個單位得到的函數(shù)解析式為
y=-x²+x+k
令y=0，即-x²+x+k=0，
解得x₁=3-，x₂=3+，
即A（3-，0）、B（3+，0），C（0，k）；
在Rt△AOC中
AC²=OA²+OC²=（-3）²+k²；
BC²=OB²+OC²=（+3）²+k²；
AB²=（2）²=AC²+BC²=（-3）²+k²+（+3）²+k²；
整理得k（k-4）=0
k=0（不合題意），k=4；
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+x+4；

（3）由拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+x+4；
得出M（3，），A（-2，0），B（8，0），C（0，4）
如圖，

連接MC、CD，根據(jù)勾股定理
求得MC=，DC=5，MD=，
∵MC2+CD2=MD2
由勾股定理逆定理△CMD為直角三角形，且DC⊥CM，
又∵DC=DA=DB，
∴直線CM與⊙D相切；

（4）存在.．
分析：（1）把二次函數(shù)配方求得頂點坐標，即可求出點D坐標；
（2）把二次函數(shù)向上平移k個單位的解析式為+k，求出A、B、C三點，利用勾股定理求出k即可；
（3）利用求出的二次函數(shù)解析式，求出點M的坐標，利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出以D、C、M三點構成的三角形為直角三角形，得出結論；
（4）求出過A、C的兩點和BC兩點的直線解析式，按以三個點為直角頂點，結合等腰直角三角形的性質分情況探討得出答案．
點評：此題考查二次函數(shù)，平移的性質，勾股定理以及勾股定理的逆定理，切線的判定等知識點，以及分類討論思想的滲透．